Este hilo fue publicado en BlueSky el 27 de diciembre de 2024.
Explica cómo usar una regla de cálculo, un instrumento de cálculo analógico muy popular antes de la llegada de las calculadoras electrónicas.
Las reglas de cálculo fueron un instrumento habitual (junto con las tablas de senos y cosenos o las de logaritmos) en cualquier oficina técnica o en la cartera de cualquier estudiante hasta la segunda mitad del s. XX, cuando fueron sustituidas por las calculadoras electrónicas.
La regla de cálculo
Pare empezar, vemos cómo es la regla de cálculo como objeto físico: tiene el cuerpo principal (la regla en sí), una reglilla deslizante y un cursor transparente de apoyo y marcaje, deslizante también. La reglilla tiene dos caras, una para operaciones algebraicas y la otra para operaciones trigonométricas.
A la izquierda vemos varias escalas y a la derecha a qué corresponden:
- C y D datos de entrada (x)
- A y B su cuadrado (x2)
- K su cubo (x3)
- CI su inverso (1 / x)
- L su logaritmo (log x)
Con la reglilla en modo trigonométrico vemos otras escalas:
- S seno (sin x)
- T tangente (tan x)
- ST senos y tangentes de ángulos pequeños
Operaciones directas
La regla de cálculo es un instrumento analógico, da resultados aproximados con no más de dos decimales.
Unas operaciones sencillas: con la reglilla alineada con el cuerpo principal, ponemos el cursor en el 2 de las escalas C y D (x = 2), vemos que:
- x2 = 4 (recíprocamente, √4 = 2)
- x3 = 8 (recíprocamente, 81 / 3 = 2)
- log x entre 0,3 y 0,302 (0,301… en realidad) (recíprocamente, 100,301 = 2; 1,99…, en realidad)
con el cursor en x = 4:
- x2 = 16 (recíprocamente, √16 = 4)
- x3 = 64 (recíprocamente, 641 / 3 = 4)
- log x = 0,602 (recíprocamente, 100,602 = 4; 3,99…, en realidad)
Para operaciones trigonométricas podríamos dar la vuelta a la reglilla, pero no es necesario.
Damos la vuelta a la regla: vemos unas muescas y, donde empieza la curva, unas marcas. La izquierda es para tangentes, la derecha superior para senos y la derecha inferior senos y tangentes pequeños.
Para calcular sin 30º, ponemos el 30 de la escala S en la muesca superior derecha y damos la vuelta a la regla. Sobre el 10 de la escala D se para el 5 de la escala C. El resultado es ese valor dividido por 10.
- sin 30º = 5 / 10 = 0,5
Notad que para el caso particular de esta regla en la escala de senos están marcados en rojo los cosenos (sin 30º = cos 60º).
Para tangentes, se coloca el ángulo de la escala T sobre la muesca izquierda y se realiza la lectura no sobre el 10 de la escala D, sino sobre el 1 e, igualmente, se divide lo medido por 10.
- tan 10º = 1,75 / 10 = 0,175 (0,176… en realidad)
Para ángulos pequeños se usa la muesca derecha inferior, y no se divide por 10 sino por 100. Como para ángulos pequeños el seno y la tangente son iguales (el error del valor real es menor que el error de medirlo en la regla) se usa para ambos la misma escala, la ST.
- sin 2º = tan 2º = 3,485 / 100 = 0,03485 (0,03489… en realidad)
Como ya he dicho arriba, la regla de cálculo es un instrumento analógico. Si uno es cuidadoso moviendo la reglilla y el cursor con precisión y midiendo con atención, obtiene mejores resultados.
Todo lo anterior podríamos haberlo hecho también dando la vuelta a la reglilla deslizante:
- sin 30º = 0,5
- sin 2º = tan 2º = 0,03485
- tan 10º = 0,1765 (mejor medido que antes)
Multiplicaciones y divisiones
Pero mirando bien la regla podemos ver algunas cosas «raras»:
- ¿Por qué el 1 y el 2 están más separados que el 2 y el 3 (y mucho más que el 9 y el 10)?
- ¿Por qué no hay valores inferiores a 1 (ni superiores a 10)?
- ¿Cómo obtengo el seno y tangente de 0º? (que es 0… ¡y no hay 0!)
Vamos a ir resolviendo estas preguntas.
¿Por qué el 1 y el 2 están más separados que el 2 y el 3 (y mucho más que el 9 y el 10)?
Ahora es cuando la regla de cálculo se pone interesante.
Los números no están separados de forma regular porque la regla emplea una escala logarítmica.
¿Por qué logarítmica? Para poder multiplicar y dividir.
La regla de cálculo se basa en una propiedad de los logaritmos: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores.
- log (a × b) = log a + log b
Así:
- log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3
Hemos transformado una multiplicación en una suma. ¿Para qué?
Hagamos en la regla una suma de segmentos. Sumemos el segmento log 2 de la escala D y el segmento log 3 de la escala C. Para ello deslizamos la reglilla central poniendo el 1 de la escala C sobre el 2 de la escala D y el 3 de la escala C se posiciona sobre el 6 de la escala D.
Hemos hecho:
- 2 × 3 = 6
Es decir: en una escala logarítmica, como la de la regla de cálculo, una multiplicación es una suma de longitudes.
De forma análoga, dado que el logaritmo de una división es igual la diferencia entre los logaritmos del dividendo y divisor:
- log (a / b) = log a – log b
- log (8 /4) = log 8 – log 4
Situamos sobre el 8 de la escala D el 4 de la escala C y el 1 de la escala C se posiciona sobre el 2 de la D.
Hemos hecho:
- 8 / 4 = 2
Hay otra forma de hacer divisiones.
Si recordáis, entre las escalas B y C está la escala CI; es la escala de los inversos: da 1 / x
Así, para hacer 1 / 8, sobre el 8 de la escala D ponemos el 1 de la escala CI y el 4 de la escala CI se posiciona sobre el 2 de la escala D.
¿Por qué no hay valores inferiores a 1 (ni superiores a 10)?
Porque no los necesitamos.
La regla de cálculo es un instrumento analógico. El resultado lo medimos directamente sobre la regla por lo que, cuanto mayor sea el segmento sobre el que operemos (cuanto mayor sea la separación entre las marcas), más precisos serán nuestros resultados. Por eso, sólo tenemos un segmento de 1 a 10. Meter más marcas implicaría separaciones menores (mayor error) o una regla más grande (y más incómoda).
Pero, entonces, ¿cómo multiplicamos y dividimos números menores que 1 o mayores que 10? Para estas operaciones expresamos los números como una cifra entera con un par de decimales por una potencia de 10, operamos en la regla los números sin sus potencias y éstas las añadimos luego:
- 32.725 × 0,278 = …
- … = (3,27 × 104) × (2,78 × 10-1) = …
- … = (3,27 × 2,78) × (104 × 10-1) = …
- … = (3,27 × 2,78) × 10(4 – 1) = …
- … = (3,27 × 2,78) × 103
- (3,27 × 2,78) × 103 = 9,075 × 103 (aprox., 9.097,55 en realidad)
Vale, podemos operar números menores de 1 y mayores de 10 aunque nuestra regla sólo vaya de 1 a 10 pero, ¿qué hacemos durante la operación el resultado se nos sale de la escala? Es decir:
- 7 × 3 = 21
- 5 / 7 = 0,714…
pero estos resultados están fuera de los límites de la regla. ¿Qué hacemos?
Si el resultado se va por la derecha (mayor que 10) dividimos uno de los números por 10 para «llevarlo a la izquierda», operamos con la regla y restituimos luego el 10:
- 7 × 3 = ((7 / 10) × 10) × 3 = ((7 / 10) × 3 ) × 10
Operamos con la regla
- (7 / 10) × 3 = 2,1
Y luego multiplicamos el resultado por 10.
- 2,1 × 10 = 21
Si el resultado se va por la izquierda (menor que 1) hacemos algo similar:
- 5 / 7 = (5 × (1 / 10) × 10) / 7 = …
- … = (5 × (1 / 10)) × (10 / 7) = …
- … = (10 / 7) × (5 × (1 / 10)) = …
- … = ((10 / 7) × 5) × (1 / 10) = …
- … = ((10 / 7) × 5) / 10
Operamos en la regla:
- (10 / 7) × 5 = 7,15
Y el resultado lo dividimos por 10:
- 7,15 / 10 = 0,715 (aprox., 0,7142…, en realidad)
¿Cómo obtengo el seno y tangente de 0º? (que es 0… ¡y no hay 0!)
Antes hemos visto cómo obtener senos y tangentes. Lo hemos hecho dando la vuelta a la regla, no a la reglilla deslizante, pero, ¿y si le damos la vuelta a la reglilla?
Si damos la vuelta a la reglilla deslizante veremos que los valores de senos y cosenos están expresados en la escala logarítmica de la regla. Esto tiene una ventajas e inconvenientes.
El primer inconveniente es que una escala logarítmica no tiene 0.
En la regla vemos el segmento que va de 1 a 10, a su derecha iría el que va de 10 a 100, a la derecha de éste el de 100 a 1.000…; a la izquierda del 1 iría el segmento que va de 0,1 a 1, a la izquierda de éste el que va de 0,01 a 0,1… pero no hay 0, por eso no podemos obtener senos o tangentes de ángulos muy próximos a 0º. Hay una escala, la escala ST, para ángulos de hasta unos 40′ (a esa escala, el valor del seno y de la tangente, para la precisión de la regla de cálculo, coinciden).
El segundo inconveniente es que tampoco podemos obtener tangentes mayores que 1.
El valor tan x = 1 ,corresponde a ángulos de x = 45º. Para ángulos mayores tenemos que operar:
- tan x = 1 / tan (90 – x)
Pero también hay ventajas: que senos y tangentes estén expresados en la escala logarítmica de la regla permite que podemos operar con ellos. Así:
- 3 × sin 15º = 7,75 / 10 = 0,775 (aprox., 0,776… en realidad)
(Recordad que para senos y tangentes hay que dividir por 10 el resultado en las escalas S y T y por 100 en la escala ST).
Otras funciones
Otra función de las reglas de cálculo es que permiten hacer tablas de valores relacionados por un mismo factor.
P.e.: la densidad del cemento es de 1,44 tn / m3. Pongo el 1 de la escala C sobre el 1,44 de la escala D y desplazándome por la escala C obtengo en la D la masa de un volumen dado.
Lo anterior se extiende también a los cuadrados.
Así, si la sección de una barra de acero de Ø 20 mm es de 314 mm2, pongo el 2 de la escala C bajo el π (*) de la escala A y obtengo las secciones de los diámetros que desee.
(*) No es casual, os lo dejo como deberes. 😉
Además, las reglas podían tener otras funciones.
P.e., la regla de este hilo tiene en el cursor marcas para pasar de caballos (PS) a kW (y viceversa), tanto en la escala lineal (rojo) como en la de cuadrados (verde), así como marcas para obtener la sección a de un círculo de diámetro d (azul).
Además de las funciones que podía tener la regla (valores de π o de otras constantes fijadas en la regla, guías de funciones concretas en el cursor…) la superficie podía incluir un chuletario, como esta regla soviética que me trajeron de la Madre Rusia, con sus tablas en perfecto cirílico.
En fin, creo que esto es todo lo que os puedo contar sobre las reglas de cálculo.
Un instrumento muy común en su día, muy bien pensado, pero ahora totalmente obsoleto y sin valor práctico más allá de la curiosidad matemática que supone.
[FIN]